Georg Cantor entrou para a História como o homem que provou a existência de infinitos maiores do que outros infinitos. Obviamente, a primeira coisa necessária para aceitar a teoria cantoriana é a aceitação do axioma da escolha, que, como Cantor mesmo pensava, atualiza o infinito quantitativo. Porém, a veracidade desse axioma não é universalmente aceita na matemática. Existem matemáticos que o negam e esses são chamados de finitistas – há, também, os chamados finitistas estritos, que não aceitam nem mesmo o infinito em potência.

Aceitando o axioma do infinito, o chamado Teorema de Cantor se torna verdadeiro. Isto é, o teorema que diz que se A é um conjunto, então não existe uma bijeção entre A e o seu conjunto das partes, P(A) – o conjunto de todos os subconjuntos de A. 

Agora, considere o seguinte princípio P1: Dois conjuntos A e B possuem o mesmo tamanho se, e somente se, existe uma bijeção entre eles. 

Dado o teorema de Cantor e P1, segue que se A for um conjunto infinito, então A e P(A), obviamente infinito, não possuem o mesmo tamanho. Ou seja, existem conjuntos infinitos de tamanhos distintos. 

Bom, não aceitando resultados contra-intuitivos, como o fato de que o tamanho do conjunto dos números primos é igual ao tamanho do conjunto dos números inteiros, algumas pessoas questionam a suficiência de P1. Isto é, transformam P1 em P1′: Se existe uma bijeção entre dois conjuntos A e B, então eles possuem o mesmo tamanho. Outros, como Alexander Pruss, propõem uma versão de P, utilizando mundos possíveis, em que a conclusão, em vez de ser a existência de infinitos de tamanhos distintos, seja a possibilidade metafísica de que todos os infinitos sejam do mesmo tamanho.

Outros ainda, como eu, pensam que antes de se responder propriamente essas questões, é preciso ter uma noção clara da natureza do conhecimento matemático e, com isso, estudar como se dá a utilização terminológica dos objetos matemáticos. Utilizamos termos de maneira unívoca, equívoca ou analógica? (meu palpite é a utilização de maneira analógica).